Nhị Thức NIUTON

ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THỨC VÀ TÍNH TỔNG TỔ HỢP.


I. ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THứC VÀ TÍNH TỔNG TỔ HỢP.
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam

I. Thuần nhị thức Newton
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: . Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b
Ví dụ 1.1: Tính tổng
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn . Khi đó tổng trên sẽ bằng
Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng:

Tương tự như trên, ta nghĩ ngay đến việc dùng nhị thức với :


Nhưng tổng cần tìm chỉ chứa các số hạng có với k chẵn nên ta phải triệt tiêu được các số hạng “lẻ”
bằng cách tính tổng khác với


Do đó tổng cần tìm là
Bài tập tương tự:
1. Chứng minh rằng:
2. Chứng minh rằng:

II. Sử dụng đạo hàm cấp 1,2
1. Đạo hàm cấp 1
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ hay tức số hạng đó có dạng hoặc thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 đến tính.
Cụ thể

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được :
(1)
Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm
Ví dụ II.1: Tính tổng
Giải
Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP (1). Việc còn lại chỉ cần chọn ta tính được tổng bằng 0.
Cách khác: Sử dụng đẳng thức ta được tổng bằng :

Dùng cách này có thể tránh được dùng đạo hàm do đó phù hợp với các bạn
11 chưa học đến đạo hàm hoặc cảm thấy dùng chưa quen đạo hàm.
Ví dụ II.2: Tính tổng


Giải
Nhận thấy hệ số đứng trước tổ hợp giảm dần nên phải hoán đổi vị trí và :

Đạo hàm theo x:


Thay x = 2, a = 3 ta được tổng bằng
Cách khác: Khéo léo sử dụng 2 đẳng thức ta có thể tránh việc phải dùng đạo hàm phức tạm:







Ví dụ II.3: Tính tổng

Giải
Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…2,1 nên dùng đạo hàm là điều
dễ hiểu:


Bây giờ nếu lấy đạo hàm thì chỉ được trong khi trong đề đến 2008 do đó ta phải nhân
thêm x vào đẳng thức trên rồi mới đạo hàm:




Thay x = 1 vào ta tìm được tổng là
Bài tập tương tự
1. Chứng minh rằng
2. Tính tổng
3. Tìm n biết

2. Đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng hay hay ( không kể dấu ) tức có dạng hay tổng quát hơn thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét
đa thức:


Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:


Đạo hàm lần nữa:


Đến đây ta gần như giải quyết xong bài toán chỉ việc thay a, b, x bởi
các hằng số thích hợp nữa thôi.

Ví dụ II.4: Chứng minh rằng
S =
Dễ dàng thấy được VT của đẳng thức trên giống gần như hoàn toàn VP (2)
ta chỉ việc thay
là đã giải quyết xong bài toán

Chú ý: Đây chỉ là ý tưởng còn khi trình bày vào bài kiểm
tra hay bài thi thì ta phải ghi rõ xét đa thức rồi đạo hàm 2 lần và thay x = 1 vào mới được trọn
số điểm.

Cách khác: Ta vẫn có thể sử dụng được đẳng thức 2 lần để tính tổng trên, cụ thể:




Tương tự như trên ta dễ dàng tính được tổng bằng cách thay x = -1 và n =
16

Hoặc ta cũng có thể sử dụng để đơn giản hơn một chút.

Ví dụ II.5: Rút gọn tổng sau

Giải

Với ý tưởng như bài trên ta xét đa thức


Đạo hàm lần 1:


Nếu ta tiếp tục đạo hàm lần nữa thì chỉ thu được 1.2, 2.3 ,… do đó để
thu được ta phải nhân thêm hai vế với x rồi mới lấy đạo
hàm:




Thay x = 1 ta rút gọn được tổng trên thành

Tương tự khi tính tổng ta cần chú ý là trước tổ hợp có một hệ số lớn
hơn k trong nên ta phải nhân với x trước khi đạo hàm 2 lần.

Bài tập tương tự:
1. Tính tổng